Возможности, описанные в статье, полностью доступны в MathCAD версии 14 и выше. Ссылка на теорию и реализация задачи средствами программирования в MathCAD находятся здесь.

А в современных версиях всё можно сделать с помощью трёх встроенных функций.

Функция polyint(X,Y,x) выполняет полиномиальную интерполяцию по заданным векторам X и Y размерности N в точке x. Она находит полином степени N-1, проходящий через каждую точку {Xi,Yi}. Функция возвращает вектор, состоящий из 2 элементов - найденное в точке x значение полинома и оценка погрешности значения.

Проиллюстрируем работу функции, задав векторы X и Y "вручную", а для оценки значения полинома определив точку x=25.

Функция polycoeff(X,Y) вычисляет коэффиценты интерполяционного полинома и возвращает вектор этих коэффициентов размерностью N для N значений {Xi,Yi}. В дальнейшем в произвольной точке x значение интерполяционного полинома может быть вычислено по формуле f(x)=Σcixi

Ниже вычисляется значение полинома и его первой производной для тех же векторов исходных данных X, Y и той же точки x=25.

Функция polyiter(X,Y,x,N,e) позволяет задать значение допустимой погрешности e и максимальную степень полинома N, таким образом, с её помощью можно выполнять полиномиальную интерполяцию более низких степеней. Проверим её работу на степени N-1.

Более развёрнутый пример с графиками - в приложенном файле MathCAD (формат .XMCD)

 Скачать этот пример в формате XMCD (105 Кб)

Интерполяционный полином

Во многих случаях анализируемые данные заданы не аналитическим способом (в виде известной функции y(x)), а табличным – когда значения функции известны только для конечного набора значений аргументов y_i=f(x_i), i=1,2,…,N. При этом аналитическая формула для функции f(x_i) нам неизвестна, так что мы не можем достоверно оценить её значение в какой-либо точке кроме тех, что нам известны. Восстановить зависимость по N известным точкам можно из следующих соображений.

Через N различных точек {x_i,y_i}, i=1,2,…,N, всегда можно построить кривую, зависящую от x^N-1:

•    прямая может быть построена по 2 точкам (уравнение зависит от x¹ и имеет вид f(x)=c₀+c₁*x);

•    парабола может быть построена по 3 точкам (уравнение зависит от x² и имеет вид f(x)=c₀+c₁*x+c₂*x²);

•    …

•    в общем виде для N точек уравнение имеет вид f(x)=c₀+c₁*x+c₂*x²+…+с_N-1*x^N-1 и зависит от x^N-1

(формула 1)

В этом уравнении нам неизвестны коэффициенты c_i. Из условия, что кривая проходит через все известные точки, можно записать:

c0 + c1x1 + c2x12 + …. + cN-1x1N-1 = y1 c0 + c1x2 + c2x22 + …. + cN-1x2N-1 = y2 … c0 + c1xN + c2xN2 + …. + cN-1xNN-1 = yN

или в матричном виде

*

=

Решив эту систему уравнений, то есть, найдя обратную матрицу и умножив её на вектор y, найдём коэффициенты c_i. Подставив их в уравнение (1), мы можем аналитически оценить значение функции в любой точке x. Построенная по формуле (1) кривая называется интерполяционным полиномом.

Задание: построить интерполяционный полином по следующим значениям {x_i,y_i}:

Вывести на графике полученную зависимость f(x) и исходные данные {x_i,y_i}, границы графика по оси Ox принять от 0 до 5.

Скриншот:

 Скачать этот пример в формате XMCD (35 Кб)

гостевая; E-mail