|
Pers.narod.ru. Обучение. Лекции по численным методам. Примеры решения экзаменационных задач |
1. Получить решение уравнения f(x)=x3+x2-9x+9=0 методом деления отрезка пополам с точностью 0.05. Интервал изоляции (-4, -3.8)
Проверим, что данный отрезок – интервал изоляции: f(-4)=-3, f(-3.8)=2.768.
Следовательно,
Данный отрезок является интервалом изоляции.
Расчеты
|
k |
a |
b |
c |
f(c) |
f(a) |
b-a |
|
0 |
-4 |
-3.8 |
-3.9 |
-3 |
-0.009 |
0.2 |
|
1 |
-3.9 |
-3.8 |
-3.85 |
-0.009 |
1.405875 |
0.1 |
|
2 |
-3.9 |
-3.85 |
-3.875 |
-0.009 |
0.705078 |
0.05 |
|
3 |
-3.9 |
-3.875 |
-3.8875 |
-0.009 |
0.349705 |
0.025 |
Расчетные формулы:
Ответ: x=-3.8875
2. Получить решение уравнения f(x)=x3+x2-9x+9=0 методом простой итерации с точностью 0.001. Интервал изоляции (-5, -3).
Аналогично доказываем, что интервал является интервалом изоляции.
f(-5)=-46, f(-3)=18
Расчетные формулы:
|
k |
x |
f(x) |
точность |
|
0 |
-4 |
-3 |
|
|
1 |
-3.91 |
-0.29837 |
0.09 |
|
2 |
-3.90105 |
-0.03925 |
0.008951 |
|
3 |
-3.89987 |
-0.00529 |
0.001178 |
|
4 |
-3.89971 |
-0.00072 |
0.000159 |
Ответ: X=-3.8997
3. Получить решение уравнения f(x)=x3+x2-9x+9=0 методом Ньютона с точностью 0.001. Интервал изоляции (-5, -3).
Расчетные формулы:
f(-5)= -46, f//(-5)=6*(-5)+2=-28
Следовательно, 
|
k |
x |
f(x) |
f'(x) |
точность |
|
0 |
-5 |
-46 |
56 |
|
|
1 |
-4.17857 |
-8.89217 |
35.02423 |
0.821429 |
|
2 |
-3.92469 |
-0.72721 |
29.36009 |
0.253886 |
|
3 |
-3.89992 |
-0.00659 |
28.82821 |
0.024769 |
|
4 |
-3.89969 |
-5.6E-07 |
28.82332 |
0.000229 |
Ответ: x=-3.89969
4. Решить систему линейных уравнений методом простой итерации с точностью 0.05:
Проверим условие диагонального преобладания:
Разрешим систему уравнений относительно xi
|
k |
x1 |
x2 |
x3 |
точность |
|
0 |
0 |
0 |
0 |
|
|
1 |
-0.3333333 |
-0.125 |
-1 |
1 |
|
2 |
-0.0138889 |
-0.33333 |
-1.07639 |
0.319444 |
|
3 |
-0.0115741 |
-0.26302 |
-1.05787 |
0.070313 |
|
4 |
-0.0099344 |
-0.26013 |
-1.04577 |
0.012105 |
5. Решить систему линейных уравнений методом Гаусса–Зейделя с точностью 0.05:
Аналогично проверяем условие диагонального преобладания.
Разрешим систему уравнений относительно xi
|
k |
x1 |
x2 |
x3 |
точность |
|
0 |
0 |
0 |
0 |
|
|
1 |
-0.3333333 |
-0.20833 |
-1.09028 |
1.090278 |
|
2 |
0.0069444 |
-0.25955 |
-1.0421 |
0.340278 |
|
3 |
-0.0148052 |
-0.25896 |
-1.04563 |
0.02175 |
6. Для таблично заданной функции:
| x | -2 | 1 | 1.5 | 2 |
| f | 0.1 | -0.2 | 0.5 | 1.2 |
вычислить значение функции в точке z=1.2, используя формулы линейной интерполяции.
Определяем интервал, которому принадлежит z: [1,1.5].
Расчетные формулы:
f(z)=-0.2+(0.5+0.2)/(1.5-1)*(1.2-1)= 0.2375.
7. Для таблично заданной функции:
| x | -2 | 1 | 1.5 | 2 |
| f | 0.1 | -0.2 | 0.5 | 1.2 |
выписать базисные полиномы и вычислить значение полинома Лагранжа в точке z=1.2.
n=3.
8. Вычислить интеграл методом трапеций для функции, заданной таблично:
|
X |
-1 |
-0.5 |
0 |
1 |
|
f |
2 |
3 |
4 |
4.5 |
В данном задании x меняется с постоянным шагом 0.5
Формула трапеций:
Если шаг не постоянный, например:
|
X |
-1 |
-0.6 |
0 |
0.8 |
|
f |
2 |
3 |
4 |
4.5 |
то надо пользоваться общей формулой трапеций:
Аналогично для формул левых и правых прямоугольников:
9. Метод наименьших квадратов.
|
Z |
Z1 |
Z2 |
... |
Zn |
|
y |
Y1 |
Y2 |
... |
Yn |
 гостевая; E-mail
|
