Pers.narod.ru. Обучение. Лекции по численным методам. Примеры решения экзаменационных задач

Примеры решения экзаменационных задач

1. Получить решение уравнения f(x)=x3+x2-9x+9=0 методом деления отрезка пополам с точностью 0.05. Интервал изоляции (-4, -3.8)

Проверим, что данный отрезок – интервал изоляции: f(-4)=-3, f(-3.8)=2.768.

Следовательно,

Данный отрезок является интервалом изоляции.

Расчеты

k

a

b

c

f(c)

f(a)

b-a

0

-4

-3.8

-3.9

-3

-0.009

0.2

1

-3.9

-3.8

-3.85

-0.009

1.405875

0.1

2

-3.9

-3.85

-3.875

-0.009

0.705078

0.05

3

-3.9

-3.875

-3.8875

-0.009

0.349705

0.025

Расчетные формулы:

Ответ: x=-3.8875

2. Получить решение уравнения f(x)=x3+x2-9x+9=0 методом простой итерации с точностью 0.001. Интервал изоляции (-5, -3).

Аналогично доказываем, что интервал является интервалом изоляции.

f(-5)=-46, f(-3)=18

Расчетные формулы:

k

x

f(x)

точность

0

-4

-3

 

1

-3.91

-0.29837

0.09

2

-3.90105

-0.03925

0.008951

3

-3.89987

-0.00529

0.001178

4

-3.89971

-0.00072

0.000159

Ответ: X=-3.8997

3. Получить решение уравнения f(x)=x3+x2-9x+9=0 методом Ньютона с точностью 0.001. Интервал изоляции (-5, -3).

Расчетные формулы:

f(-5)= -46, f//(-5)=6*(-5)+2=-28

Следовательно,

k

x

f(x)

f'(x)

точность

0

-5

-46

56

 

1

-4.17857

-8.89217

35.02423

0.821429

2

-3.92469

-0.72721

29.36009

0.253886

3

-3.89992

-0.00659

28.82821

0.024769

4

-3.89969

-5.6E-07

28.82332

0.000229

Ответ: x=-3.89969

4. Решить систему линейных уравнений методом простой итерации с точностью 0.05:

Проверим условие диагонального преобладания:

Разрешим систему уравнений относительно xi

k

x1

x2

x3

точность

0

0

0

0

 

1

-0.3333333

-0.125

-1

1

2

-0.0138889

-0.33333

-1.07639

0.319444

3

-0.0115741

-0.26302

-1.05787

0.070313

4

-0.0099344

-0.26013

-1.04577

0.012105

5. Решить систему линейных уравнений методом Гаусса–Зейделя с точностью 0.05:

Аналогично проверяем условие диагонального преобладания.

Разрешим систему уравнений относительно xi

k

x1

x2

x3

точность

0

0

0

0

 

1

-0.3333333

-0.20833

-1.09028

1.090278

2

0.0069444

-0.25955

-1.0421

0.340278

3

-0.0148052

-0.25896

-1.04563

0.02175

6. Для таблично заданной функции:

x -2 1 1.5 2
f 0.1 -0.2 0.5 1.2

вычислить значение функции в точке z=1.2, используя формулы линейной интерполяции.

Определяем интервал, которому принадлежит z: [1,1.5].

Расчетные формулы:

f(z)=-0.2+(0.5+0.2)/(1.5-1)*(1.2-1)= 0.2375.

7. Для таблично заданной функции:

x -2 1 1.5 2
f 0.1 -0.2 0.5 1.2

выписать базисные полиномы и вычислить значение полинома Лагранжа в точке z=1.2.

n=3.

8. Вычислить интеграл методом трапеций для функции, заданной таблично:

X

-1

-0.5

0

1

f

2

3

4

4.5

В данном задании x меняется с постоянным шагом 0.5

Формула трапеций:

Если шаг не постоянный, например:

X

-1

-0.6

0

0.8

f

2

3

4

4.5

то надо пользоваться общей формулой трапеций:

Аналогично для формул левых и правых прямоугольников:

9. Метод наименьших квадратов.

Z

Z1

Z2

...

Zn

y

Y1

Y2

...

Yn

Рейтинг@Mail.ru

вверх гостевая; E-mail
Hosted by uCoz