1. Типы задач для обыкновенных дифференциальных уравнений

Обыкновенные дифференциальные уравнения (ОДУ) широко используются для математического моделирования процессов и явлений в различных областях науки и техники. Переходные процессы в радиотехнических цепях, кинетика химических реакций, динамика биологических популяций, движение космических объектов, модели экономического развития исследуются с помощью ОДУ.

В дифференциальное уравнение n-го порядка в качестве неизвестных величин входят функция у(х) и её первые n производных по аргументу х.

(1)

Из теории ОДУ известно, что уравнение (1) эквивалентно системе n уравнений первого порядка

(2)

где k = 1, …, n.

Уравнение (1) и эквивалентная ему система (2) имеют бесконечное множество решений. Единственные решения выделяют с помощью дополнительных условий, которым должны удовлетворять искомые решения. В зависимости от вида таких условий рассматривают три типа задач, для которых доказано существование и единственность решений.

Первый тип - это задачи Коши, или задачи с начальными условиями. Для таких задач кроме исходного уравнения (1) в некоторой точке х₀ должны быть заданы начальные условия, т.е. значения функции у(х) и ее производных

Для системы ОДУ типа (2) начальные условия задаются в виде

(3)

Ко второму типу задач относятся так называемые граничные, или краевые задачи, в которых дополнительные условия задаются в виде функциональных соотношений между искомыми решениями. Количество условий должно совпадать с порядком n уравнения или системы. Если решение задачи определяется в интервале x принадлежит [х₀, х_k], то такие условия могут быть заданы как на границах, так и внутри интервала. Минимальный порядок ОДУ, для которых может быть сформулирована граничная задача, равен двум.

Третий тип задач для ОДУ - это задачи на собственные значения. Такие задачи отличаются тем, что кроме искомых функций у(х) и их производных в уравнения входят дополнительно m неизвестных параметров λ₁, λ₂, …, λ_m, которые называются собственными значениями. Для единственности решения на интервале [х₀, х_k] необходимо задать n+m граничных условий. В качестве примера можно назвать задачи определения собственных частот, коэффициентов диссипации, структуры электромагнитных полей и механических напряжений в колебательных системах, задачи нахождения фазовых коэффициентов, коэффициентов затухания, распределения напряженностей полей волновых процессов и т. д.

К численному решению ОДУ приходится обращаться, когда не удается построить аналитическое решение задачи через известные функции. Хотя для некоторых задач численные методы оказываются более эффективными даже при наличии аналитических решений.

Большинство методов решения ОДУ основано на задаче Коши, алгоритм решения которой рассматривается далее.

2. Метод Эйлера

Систему ОДУ (2) часто удается представить в каноническом виде, в так называемой форме Коши

(4)

где k= 1, 2, ..., n.

При формулировке задачи Коши система (4) дополняется начальными условиями (3). Для простоты рассмотрим задачу Коши для одного уравнения типа (4), а затем полученные алгоритмы обобщим на систему n уравнений

(5)

В окрестности точки х₀ функцию у(х) разложим в ряд Тейлора

(6)

который можно применить для приближенного определения искомой функции у(х). В точке х₀ + h при малых значениях h можно ограничиться двумя членами ряда (6), тогда

(7)

где O(h²) - бесконечно малая величина порядка h². Заменим производную у'(x₀), входящую в формулу (7), на правую часть уравнения (5):

(8)

Теперь приближенное решение в точке х₁ = х₀ + h можно вновь рассматривать как начальное условие и по формуле (8) найти значение искомой функции в следующей точке х₂ = x₁ + h₁. В результате получен простейший алгоритм решения задачи Коши, который называется методом Эйлера, или методом ломаных. Последнее название связано с геометрической интерпретацией процесса (см. рис.); искомую функцию у(х) мы заменяем ломаной линией, представляющей собой отрезки касательных к этой функции в узлах

Рис. Метод Эйлера

Формула (8) может быть получена из других соображений. Заменим производную в левой части уравнения (5) приближенным конечно-разностным отношением

Нетрудно видеть эквивалентность последнего выражения с алгоритмом Эйлера (8).

На каждом шаге метода Эйлера решение у(х) определяется с погрешностью за счет отбрасывания членов ряда Тейлора, пропорциональных h в степени выше первой. Это означает, что метод Эйлера имеет второй порядок локальной погрешности. Доказано, что глобальная погрешность метода имеет первый порядок; и при постоянном шаге h для оценки погрешности применима первая формула Рунге

, (9)

где y_h(x) - приближенное решение дифференциального уравнения в точке х, полученное с шагом h; у_kh(х) - приближенное решение того же уравнения с шагом kh; р - порядок метода.

Формула (9) позволяет опытным путем определить шаг h, обеспечивающий требуемую точность решения у(х). Так же, как и при вычислении определенных интегралов, можно осуществлять автоматическое изменение шага в процессе интегрирования дифференциального уравнения.

Для уточнения решения применима вторая формула Рунге

(10)

Формула Эйлера (8) обобщается для систем ОДУ, записанных в форме Коши (4) с начальными условиями (3)

(11)

Представленная ниже программа реализует метод Эйлера решения задачи Коши для системы дифференциальных уравнений. Функция уравнения задаётся подпрограммой f(x), точное решение – подпрограммой ft(x). Пользователь вводит интервал поиска решения [A,B], число шагов N, начальное значение Y(0). Программа выводит найденное решение и оценивает его максимальную погрешность.

{Решение задачи Коши методом Эйлера}
program Eyler;
uses crt; {модуль управления экраном}
var i,n:integer;
    a,b,h,x,x0,y,y0,eps,emax:real;
 
function f(x,y:real):real; {функция уравнения}
begin
 f:=y/x-4/sqr(x);
end;
 
function ft(x:real):real; {функция точная}
begin
 ft:=2/x;
end;
 
begin
 clrscr; {очистить экран}
 writeln ('Решение задачи Коши методом Эйлера');
 writeln ('Уравнение dy/dx=y/x-4/sqr(x)');
 write ('Введите интервал поиска решения [A,B]: ');
 read (a,b);
 write ('Введите число шагов N: ');
 readln (n);
 h:=(b-a)/n;
 x0:=a;
 write ('Введите начальное значение Y(0): ');
 read(y0);
 y:=y0;
 x:=x0;
 emax:=0; {макс. отклонение}
 writeln ('X':19,'Y':19,'Eps':19);
 for i:=1 to n+1 do begin
  y:=y+h*f(x,y); {делаем шаг метода}
  eps:=abs(y-ft(x));
  if eps>emax then emax:=eps; {оцениваем макс. погрешность}
  writeln (x:19:8,y:19:8,eps:19:8);
  x:=x+h;
 end;
 writeln ('Pmax=',emax:19:8);
 reset (input); readln;
end.

Вот примеры вывода этой программы.

Решение задачи Коши методом Эйлера
Уравнение dy/dx=y/x-4/sqr(x)
Введите интервал поиска решения [A,B]: 1 3
Введите число шагов N: 10
Введите начальное значение Y(0): 2
                  X                  Y                Eps
         1.00000000         1.60000000         0.40000000
         1.20000000         1.31111111         0.35555556
         1.40000000         1.09024943         0.33832200
         1.60000000         0.91403061         0.33596939
         1.80000000         0.76867599         0.34243512
         2.00000000         0.64554359         0.35445641
         2.20000000         0.53894011         0.37015080
         2.40000000         0.44496290         0.38837043
         2.60000000         0.36084762         0.40838315
         2.80000000         0.28458163         0.42970408
         3.00000000         0.21466485         0.45200181
Pmax=         0.45200181


...
Введите число шагов N: 10000
...
                  X                  Y                Eps
...
         2.99999999         0.66623701         0.00042965
Pmax=         0.00042965

гостевая; E-mail